专升本数学严选800题 - 第307-327题

曲线积分与无穷级数专题

一、曲线积分

  1. 设 $L$ 为 $y^2 = x$ 上从点 $A(1,-1)$ 到点 $B(1,1)$ 的一段弧，则 $\displaystyle\int_L xy \, dx = $（ ）
    A. $\dfrac{1}{5}$ B. $\dfrac{4}{5}$ C. $\dfrac{2}{5}$ D. $\dfrac{3}{5}$
    答案：B
    解析：曲线 $y^2 = x$，参数化为 $x = t^2$，$y = t$，$t$ 从 $-1$ 到 $1$。
    则 $dx = 2t \, dt$，代入得：
    $\displaystyle\int_{-1}^{1} t^2 \cdot t \cdot 2t \, dt = \int_{-1}^{1} 2t^4 \, dt = 2 \cdot \frac{t^5}{5}\bigg|_{-1}^{1} = \frac{2}{5}[1 - (-1)] = \frac{4}{5}$。
  2. 设 $L$ 为 $(0,0)$，$(2,0)$，$(2,1)$ 所构成的三角形的正向边界，则曲线积分的值 $\displaystyle\oint_L (2x^2 - y + 1)dx + (5y + 2x - 3)dy = $（ ）
    A. $3$ B. $4$ C. $5$ D. $6$
    答案：B
    解析：利用格林公式，$P = 2x^2 - y + 1$，$Q = 5y + 2x - 3$。
    $\dfrac{\partial Q}{\partial x} = 2$，$\dfrac{\partial P}{\partial y} = -1$。
    $\displaystyle\oint_L = \iint_D (2 - (-1)) \, dxdy = 3 \iint_D dxdy = 3 \times S_{\triangle}$。
    三角形面积 $S = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$，所以结果为 $3 \times 1 = 3$？重新检查：$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2$，$\frac{\partial P}{\partial y} = -1$，差值为 $3$，面积 $1$，答案为 $3$。但选项有 $4$，再验算：格林公式为 $\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \iint_D (2-(-1))dxdy = 3 \times 1 = 3$。答案应为 A. $3$。
  3. 设曲线积分 $\displaystyle\int_{(1,1)}^{(3,4)} (axy^2 - y^3)dx + (6x^2y - bxy^2)dy$ 与路径无关，则 $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + ax)^{\frac{1}{bx}} = $（ ）
    A. $e$ B. $\sqrt{e}$ C. $e^2$ D. $1$
    答案：C
    解析：与路径无关条件：$\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$。
    $P = axy^2 - y^3$，$\dfrac{\partial P}{\partial y} = 2axy - 3y^2$。
    $Q = 6x^2y - bxy^2$，$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = 12xy - by^2$。
    比较得：$2a = 12$，$a = 6$；$-3 = -b$，$b = 3$。
    极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + 6x)^{\frac{1}{3x}} = \lim_{x \to 0} [(1 + 6x)^{\frac{1}{6x}}]^{\frac{6}{3}} = e^2$。
  4. 设 $L$ 为正向圆周 $x^2 + y^2 = 3$ 在第一象限中的部分，则曲线积分 $\displaystyle\int_L x \, dy - 3y \, dx = $（ ）
    A. $\pi$ B. $2\pi$ C. $3\pi$ D. $4\pi$
    答案：C
    解析：参数化：$x = \sqrt{3}\cos\theta$，$y = \sqrt{3}\sin\theta$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
    $dx = -\sqrt{3}\sin\theta \, d\theta$，$dy = \sqrt{3}\cos\theta \, d\theta$。
    原式 $= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} [\sqrt{3}\cos\theta \cdot \sqrt{3}\cos\theta - 3\cdot\sqrt{3}\sin\theta\cdot(-\sqrt{3}\sin\theta)] d\theta$
    $= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} [3\cos^2\theta + 9\sin^2\theta] d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [3 + 6\sin^2\theta] d\theta$
    $= 3\cdot\frac{\pi}{2} + 6\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 3\pi$。

二、级数敛散性判断

  1. 若 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} u_n$ 收敛，则下列说法中不正确的是（ ）
    A. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ B. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} u_{n+100}$ 收敛 C. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} |u_n|$ 收敛 D. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} |u_n|$ 敛散性不确定
    答案：C
    解析：A 正确（级数收敛必要条件）；B 正确（去掉有限项不改变敛散性）；
    C 错误（原级数收敛不能保证绝对收敛，如 $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ 收敛但 $\sum \frac{1}{n}$ 发散）；
    D 正确（条件收敛时绝对值级数发散，绝对收敛时收敛）。
  2. 若 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (u_n + 2) = $（ ）
    A. $1$ B. $0$ C. $2$ D. 不存在
    答案：C
    解析：级数收敛则 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$。
    所以 $\lim_{n \to \infty} (u_n + 2) = 0 + 2 = 2$。
  3. 若 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} u_n$ 收敛，$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} v_n$ 发散，则 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (u_n + v_n)$（ ）
    A. 条件收敛 B. 发散 C. 绝对收敛 D. 敛散性不确定
    答案：B
    解析：反证法：若 $\sum (u_n + v_n)$ 收敛，又 $\sum u_n$ 收敛，
    则 $\sum v_n = \sum [(u_n + v_n) - u_n]$ 也收敛（收敛级数的差），矛盾！
    故 $\sum (u_n + v_n)$ 必发散。
  4. 下列级数收敛的是（ ）
    A. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{2^n}$ B. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}$ C. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^3}}$ D. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 3$
    答案：C
    解析：A. 公比 $q = -\frac{3}{2}$，$|q| > 1$，发散；
    B. $p = \frac{2}{3} < 1$ 的 $p$-级数，发散；
    C. $p = \frac{3}{2} > 1$ 的 $p$-级数，收敛；
    D. 通项不趋于 $0$，发散。
  5. 下列级数收敛的是（ ）
    A. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n}$ B. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1}$ C. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \sin\frac{1}{n}$ D. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \cos\frac{1}{n}\right)$
    答案：D
    解析：A. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \neq 0$，发散；
    B. $\frac{n}{n^2+1} \sim \frac{1}{n}$，与调和级数比较，发散；
    C. $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，与调和级数比较，发散；
    D. $1 - \cos\frac{1}{n} \sim \frac{1}{2n^2}$，$p = 2 > 1$ 收敛。
  6. 下列级数发散的是（ ）
    A. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^3 + 2n}$ B. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)$ C. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} + 1}{n}$ D. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^n}$
    答案：C
    解析：C. 当 $n$ 为奇数时，$(-1)^{n-1} = 1$，通项 $= \frac{2}{n}$；
    当 $n$ 为偶数时，$(-1)^{n-1} = -1$，通项 $= 0$。
    级数变为 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{2k-1}$，相当于 $2$ 倍调和级数，发散。
    A. 与 $\frac{1}{n^2}$ 比较，收敛；B. $\ln(1+\frac{1}{n^2}) \sim \frac{1}{n^2}$，收敛；D. 根值法，收敛。
  7. 下列级数收敛的是（ ）
    A. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n}$ B. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{3^n}$ C. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ D. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
    答案：C
    解析：A. 通项 $\to 1 \neq 0$，发散；
    B. 根值法：$(\frac{n^n}{3^n})^{1/n} = \frac{n}{3} \to \infty$，发散；
    C. 比值法：$\frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1} \to 0 < 1$，收敛；
    D. 通项 $\to e \neq 0$，发散。
  8. 下列说法中，正确的是（ ）
    A. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛 B. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 C. 若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 D. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛
    答案：B
    解析：B 正确（绝对收敛必收敛）。
    A 错误（条件收敛反例：$\sum \frac{(-1)^n}{n}$）；
    C 错误（必要条件非充分，如 $\sum \frac{1}{n}$）；
    D 错误（交错收敛不代表绝对收敛）。

三、条件收敛与绝对收敛

  1. 下列级数，条件收敛的是（ ）
    A. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ B. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ C. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt[2]{n^3}}$ D. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^n}$
    答案：B
    解析：条件收敛 = 收敛但不绝对收敛。
    A. $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$），绝对收敛；
    B. 莱布尼茨判别法知收敛，但 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散（$p=\frac{1}{2}<1$），条件收敛；
    C. $\sqrt[2]{n^3} = n^{3/2}$，$\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛，绝对收敛；
    D. 根值法知绝对收敛。
  2. 下列级数，绝对收敛的是（ ）
    A. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}$ B. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ C. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n\pi}{3^n}$ D. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n}{2^n}$
    答案：C
    解析：C. $\cos n\pi = (-1)^n$，级数为 $\sum \frac{(-1)^n}{3^n}$。
    $\sum |\frac{(-1)^n}{3^n}| = \sum (\frac{1}{3})^n$ 是公比 $\frac{1}{3} < 1$ 的几何级数，收敛。
    A、B 都是条件收敛；D 通项不趋于 $0$，发散。
  3. 幂级数 $x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n} + \cdots$ 的收敛域为（ ）
    A. $(-1, 1)$ B. $[-1, 1]$ C. $(-1, 1]$ D. $[-1, 1)$
    答案：C
    解析：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$，$a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$。
    收敛半径 $R = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$。
    $x = 1$：$\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 收敛（交错级数）；
    $x = -1$：$\sum \frac{(-1)^{n-1}(-1)^n}{n} = \sum \frac{-1}{n}$ 发散。
    收敛域为 $(-1, 1]$。

四、幂级数收敛域与和函数

  1. 幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n+3}$ 的收敛域为（ ）
    A. $(-1, 1)$ B. $(-1, 1]$ C. $[-1, 1]$ D. $[-1, 1)$
    答案：D
    解析：$a_n = \frac{(-1)^n}{n+3}$，收敛半径 $R = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+4}{n+3} = 1$。
    $x = 1$：$\sum \frac{(-1)^n}{n+3}$ 是交错级数，由莱布尼茨判别法知收敛；
    $x = -1$：$\sum \frac{(-1)^n(-1)^n}{n+3} = \sum \frac{1}{n+3}$，与调和级数比较，发散。
    收敛域为 $[-1, 1)$。
  2. 幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx^{2n}}{3^n}$ 的收敛半径为（ ）
    A. $\dfrac{1}{3}$ B. $3$ C. $\sqrt{3}$ D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
    答案：C
    解析：这是缺项幂级数（只有偶次幂），用比值法。
    令 $u_n = \frac{nx^{2n}}{3^n}$，则 $\lim_{n \to \infty} |\frac{u_{n+1}}{u_n}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{(n+1)x^{2n+2}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{nx^{2n}}| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \frac{x^2}{3} = \frac{x^2}{3}$。
    收敛要求 $\frac{x^2}{3} < 1$，即 $x^2 < 3$，$|x| < \sqrt{3}$。
    收敛半径 $R = \sqrt{3}$。
  3. 设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛域为 $(-1, 1]$，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x-1)^n$ 的收敛域为（ ）
    A. $(-2, 0]$ B. $[-2, 0)$ C. $(0, 2)$ D. $(0, 2]$
    答案：D
    解析：原级数收敛域为 $(-1, 1]$，收敛半径 $R = 1$。
    新级数是原级数向右平移 $1$ 个单位（中心从 $0$ 移到 $1$）。
    原收敛区间 $(-1, 1]$ 平移后变为 $(0, 2]$。
    验证：$x-1 \in (-1, 1]$ 即 $x \in (0, 2]$。
  4. 幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n! \, x^n$ 的收敛半径为（ ）
    A. $0$ B. $1$ C. $\infty$ D. 不存在
    答案：A
    解析：$a_n = n!$，用比值法求收敛半径。
    $R = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$。
    收敛半径为 $0$，级数仅在 $x = 0$ 处收敛。
  5. 幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2x^n}{n^n}$ 的收敛区间为（ ）
    A. $(-1, 1)$ B. $(-\infty, +\infty)$ C. $(-2, 2)$ D. 不存在
    答案：B
    解析：用根值法，$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2|x|^n}{n^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{2} \cdot |x|}{n} = 0 < 1$。
    对任意 $x$ 都收敛，收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$。
    或用比值法：$\lim_{n \to \infty} |\frac{u_{n+1}}{u_n}| = \lim_{n \to \infty} \frac{2|x|^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2|x|^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{|x|}{(n+1)(1+\frac{1}{n})^n} = 0 < 1$。
  6. 幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上的和函数为（ ）
    A. $e^{-x}$ B. $e^{-x} - 1 - x$ C. $e^{-x} - 1 + x$ D. $e^x$
    答案：A
    解析：已知 $e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$。
    将 $x$ 替换为 $-x$：$e^{-x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$。
    所以和函数为 $e^{-x}$。